cho tam giác ABC. lấy điểm M bất kì trong tam giác. chứng minh rằng:
s(MBC) *vectơ MA + s(MAC)* vectơ MB + s(MAB) * vectơ MC = vectơ 0
chú thích: s(MBC) là diện tích tam giác MBC
thanks nhìu
Cho M nằm trong tam giác ABC. CMR:Sa* vectơ MA+Sb*vectơ MB+ Sc* vectơ MC= vectơ 0. Với Sa là kí hiệu diện tích tam giác MBC,Sb là kí hiệu diện tích tam giác MCA, Sc là kí hiệu diện tích tam giác MAB
gọi M là mộ t điểm bất kỳ nằm trong tam giác, Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích tam giác MBC, MCA, MAB. Chứng mnh rằng \(S_a\overrightarrow{MA}+S_b\overrightarrow{MB}+S_c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm CG và M,N là các điểm thỏa mãn vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC . Chứng minh rằng 3 điểm M, I , N thẳng hàng.
Ta có:
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\)
\(=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\)
\(=6\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{IG}+4\overrightarrow{IC}\)
\(=6\overrightarrow{MI}\)
\(\Rightarrow M,I,N\) thẳng hàng
a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi I,J là trung điểm của AH, HC. Chứng minh BI vuông góc với AJ b) Tìm M thỏa mãn (vectơ MA+vectơ MB)(vectơ MA+vectơ MC)=0
Lời giải:
a. $I$ là trung điểm $AH$, $J$ là trung điểm $HC$ nên $IJ$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ của tam giác $HAC$
$\Rightarrow IJ\parallel AC$ hay $IJ\perp AB$
Tam giác $BAJ$ có $AI\perp BJ, JI\perp AB$ nên $I$ là trực tâm tam giác
$\Rightarrow BI\perp AJ$
b. Gọi $T,K$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$
\((\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})=(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TB})(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC})\)
\(=2\overrightarrow{MT}.2\overrightarrow{MK}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MK}\perp \overrightarrow{MT}\)
Vậy $M$ nằm trên đường tròn đường kính $KT$
Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA,AB a) Chứng minh rằng: Vectơ AM+ Vectơ BN+ Vectơ CP= Vectơ 0
b) Chứng minh rằng Vectơ OA+ Vectơ OB+ Vectơ OC= Vectơ OM + Vectơ ON + Vectơ OP Với O bất kì
Do M là trung điểm BC nên: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
Tương tự: \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)
Cộng vế:
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{0}\)
b. Từ câu a ta có:
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}\) (đpcm)
Bài 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho EB = 2EA; M là điểm thỏa mãn vecto ME + 3vecto MC =vecto 0. Biểu diễn vectơ MA qua các vectơ MB , MC .
\(\overrightarrow{ME}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{MC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ME}\)
\(EB=2EA\Rightarrow\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA}\)
Ta có: \(\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{MB}+2\left(\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MA}\right)=\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MA}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}\Rightarrow\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MA}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ME}=-\dfrac{1}{9}\overrightarrow{MB}-\dfrac{2}{9}\overrightarrow{MA}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{9}\overrightarrow{MA}=-\dfrac{1}{9}\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MB}-\dfrac{9}{2}\overrightarrow{MC}\)
Cho tam giác ABC có D, E, F là trung điểm của BC CA AB chứng minh rằng
a, vectơ AD + vectơ BE + vectơ CF = vectơ 0
b với mọi m vectơ MA+ vectơ MB + vectơ MC = vectơ MD + vectơ ME + vectơ MF
Lời giải:
a)
$2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD})$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$
Tương tự:
$\overrightarrow{BE}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}}{2}$
$\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$
Cộng lại:
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}}{2}=\overrightarrow{0$}$
Ta có đpcm.
b)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FC}$
$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})+(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})$
$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})$
$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{0}$ (theo phần a)
$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$
Ta có đpcm.